Diberikan proses QBD (Quasi Birth-Death) dimana rate transisi dari submatriks D berupa c.r, dengan c dan r masing-masing menyatakan vektor kolom dan vektor baris. Selain itu, diasumsikan bahwa proses tidak harus lumpable. Akibatnya distribusi peluang stasioner dari proses tersebut tidak dapat diperoleh dengan menggunakan metode successive lumping.

Untuk menghitung distribusi stasioner dari masalah tersebut di sini akan dibentuk suatu prosedur/metode sedemikian hingga metode successive lumping dapat diterapkan dan penyelesaian yang diperoleh ekuivalen dengan penyelesaian dari sistem aslinya. Lebih jauh, dapat ditunjukkan bahwa prosedur tersebut dapat diterapkan untuk permasalahan yang lebih umum, yaitu  proses QSF (Quasi Skip-Free). Sebagai salah satu penerapannya adalag sistem antrian PH/M/1-queue dengan submatriks D mempunyai struktur c.r, dimana sistem tersebut dapat diformulasikan sebagai proses QBD dengan ruang keadaan S di R². Dalam model ini, waktu antar kedatangan berdistribusi phase-type dengan order l, dimana parameter \lambda_i menyatakan rate kedatangan di phase i. Pada akhir setiap phase i, pelanggan baru tiba dengan probabilitas p_{i0} atau phase k dimulai dengan probabilitas p_{ik}, dimana k=i+1,…,l dan i=1,…,l. Pelanggan baru mulai pada phase i dengan probabilitas r_i sesaat setelah kedatangan. Waktu pelayanan berdistribusi eksponential dengan rate \mu. read more

Dalam penelitian ini dibahas masalah antrian dengan proses kedatangan mengikuti proses Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial dengan dua kelas prioritas. Dengan adanya prioritas, maka pelayanan customer bersifat pre-emptive, yaitu jika terdapat customer pada kelas 1, maka server (dalam keadaan sibuk ataupun idle) akan melayani customer pada kelas 1 tersebut. Proses stokastik dimana state-nya menyatakan jumlah customer untuk setiap kelas adalah proses Markov pada state space bilangan bulat positif. Diasumsikan bahwa pemberian nomor kelas prioritas berdasarkan penurunan nomer kelasnya. Dengan kata lain, kelas 1 (sesaat setelah terdapat customer) akan mendapatkan prioritas paling tinggi untuk dilayani. Lebih lanjut, masalah antrian dengan prioritas tersebut dapat dimodelkan sebagai proses QBD (Quasi-Birth-Death) yang merupakan generalisasi dari proses Kelahiran-Kematian. read more

Masalah antrian Call-Center dengan retrial dan impatient customer dapat dimodelkan sebagai sistem antrian M/M/s/s dengan asumsi customer dapat retry atau impatient jika tidak sabar untuk mendapatkan pelayanan. Dalam model antrian ini, proses kedatangan mengikuti proses Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial dengan server, buffer, dan kapasitas orbit adalah tidak berhingga. Hal ini berarti bahwa jika semua server sibuk, maka customer bergabung di dalam orbit. Dengan asumsi bahwa customer dapat retry atau impatient dari sistem, maka customer yang tidak sabar menunggu untuk mendapat pelayanan akan meninggalkan sistem (impatient) atau mencoba untuk kembali ke dalam sistem (retry). Proses stokastik dimana state-nya menyatakan banyaknya customer di dalam orbit dan banyaknya server yang sibuk adalah suatu proses Markov. read more

Full Name:

Dwi Ertiningsih

Education Background:

Full Name:

Dwi Ertiningsih

Education Background:

Video tugas akhir ini dibuat oleh salah satu alumni program studi S1 Matematika FMIPA UGM, yaitu Sdr. Hairul Umam.

Dalam tugas akhir ini dibahas mengenai metode geometrik matriks yang dapat diterapkan untuk memperoleh distribusi stasioner dari suatu sistem antrean dengan memanfaatkan sifat-sifat struktural dari matriks transisi untuk mendapatkan algoritma yang efisien. Dalam tugas akhir ini dibahas teori yang mendasari metode geometrik matriks dan yang digunakan dalam pengembangan algoritma. Sistem antrian yang dianalisis adalah antrean dengan server tunggal, kedatangan customer mengikuti proses Poisson yang berdistribusi general dan berdistribusi Erlang. Selanjutnya, diberikan contoh sistem antrean yang dapat dimodelkan sebagai proses kelahiran dan kematian, proses quasi-birth-and-death (QBD) dan proses quasi-skip-free (QSF). Solusi analitik dari sistem antrean M/M/1 dan E_k/M/1 diperoleh dengan menerapkan metode geometrik matriks tersebut. read more

Full Name:

Dwi Ertiningsih

Education Background:

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/nav.21680

Dalam paper ini dibahas suatu kelas proses QSF dimana submatriks dari laju transisi pada arah skip-free mempunyai struktur dalam bentuk perkalian vektor kolom dan vektor baris. Diasumsikan bahwa proses QSF tersebut homogen dan irreducible. Selanjutnya, dapat ditunjukkan bahwa distribusi stasioner dari proses QSF tersebut berbentuk product-form sebagai fungsi dalam level.

Model antrean dengan waktu antar kedatangan berdistribusi Coxian   dapat dimodelkan sebagai proses QSF dalam ruang keadaan dua dimensi. Selain itu, dibahas sifat-sifat dari distribusi stasioner dan sifat monotonicity dari rerata banyaknya customer dalam antrian, rerata waktu sojourn dan variansinya sebagai fungsi dalam parameter k untuk nilai rerata laju kedatangan yang fixed. read more

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/nav.21824

Dalam paper ini dikembangkan suatu metode baru (novel method) dengan menentukan secara eksplisit fungsi awal v₀ pada algoritma value iteration. Pada permasalahan kontrol antrean Markov dengan ruang keadaan yang countable, optimal policy mempunyai suatu ambang batas (threshold) atau struktur switching curve. Sebagai konjektur, jika dapat dipilih suatu fungsi awal v₀ untuk mengenerate barisan-barisan monotonik dari threshold dan switching curve dalam n-tahap.

Dalam paper ini dibahas tiga model antrean, yaitu antrean M/M/1 dengan kontrol pada kedatangan, antrean M/M/1 dengan kontrol pada service customer, dan antrean two-competing dengan biaya holding diasumsikan kuadratik. Sebagai hasilnya diperoleh batas atas dan batas bawah yang sangat ketat. Setelah beberapa iterasi, dapat ditentukan threshold optimal atau nilai optimal switching curve pada state yang berhingga. Metode ini dapat digunakan untuk meningkatkan efisiensi perhitungan secara numerik. read more

Sistem antrian M/M/c dengan retrial adalah suatu model antrian dengan proses kedatangan mengikuti proses Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial dengan jumlah server lebih dari satu. Selain itu, diasumsikan bahwa jika semua server sibuk, maka customer bergabung dalam orbit dan customer tersebut akan mencoba untuk mendapatkan pelayanan (retrial) setelah beberapa waktu dalam orbit.

Proses stokastik dimana state-state nya berdimensi dua, yaitu (n,j) yang masing-masing menyatakan banyaknya customer di dalam orbit dan banyaknya server yang sibuk, adalah suatu proses Markov yang dapat dimodelkan sebagai proses Quasi-Birth-Death (QBD) nonhomogen. Untuk menganalisa distribusi peluang stasioner dari proses QBD tersebut diperlukan perhitungan rate matriks R. Selanjutnya, metode matriks geometrik dan metode censoring digunakan untuk menentukan rate matriks R tersebut. Salah satu referensi yang digunakan adalah paper yang berjudul “Analyzing retrial queues by censoring” https://link.springer.com/article/10.1007/s11134-009-9163-4 read more